Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения.Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение . Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке: найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл, заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель, решить получившееся целое уравнение, исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. Пример 1. Решить дробное уравнение: Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем: Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла. Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение. Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение. Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения. Пример 2. Решить дробное уравнение: Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель - Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим: Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению. Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль: то же самое, если x = 3 . Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения. Пример 3. Решить дробное уравнение: Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители: Общий знаменатель - выражение. Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим: Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению. Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 - корни данного уравнения. Пример 4. Решить дробное уравнение: Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y : |
Новинки: